Trigonometri (Kel. 3)

 

1)Konversi Sudut

Ukuran Sudut merupakan besaran yang digunakan dalam pengukuran sudut. Dalam trigonometri, sudut merupakan hal yang sangat penting yang akan langsung berhubungan dengan nilai trigonometrinya (sin, cos, tan, sec, cossec, dan cot). Pada umumnya, ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. Tanda “o” dan “rad” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, satu putaran penuh = 360°.

1° didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh putaran penuh. 1/360°

Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat a suatu lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

Jika besar ZAOB = a, AB=OA = OB maka α = AB/r = 1

 

Hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π, rad. Seperti dinyatakan dalam definisi berikut

 

Π 360° 2π rad atau 10 = rad atau 1 rad≈ 57,30 180

 

Hubungan nilai Derajat, Radian, dan Banyak Putaran

 

Misalkan Dejarat kita simbolkan D, Radian kita simbolkan R, dan banyak putaran kita simbolkan P. Maka hubungan Derajat, Radian, dan banyak Putaran (D, R, P), yaitu:

 

R/D=R/P × 360°=π/180° dan

D=P×360°

Dimana, nilai π= 3, 14 untuk radian dan π = 180° untuk derajat.

 

Persamaan di atas digunakan untuk menentukan nilai satuan yang lain jika nilai salah satuan diketahui, misalkan diketahui nilai derajat, akan ditanya nilai radian dan berapa putarannya.

Contoh soal:

1.Tentukan besarnya radian dan banyak putaran Jika diketahui besar sudutnya 150°

 Penyelesaian:

150° ... rad... putaran

 

Diketahui D = 150°

 

*). Menentukan nilai radian :

 

R/D = π/(180°)

 

R/(150°) = π/(180°)

 

R = π/(180°)×150° rad

R = π/180°πrad

 

*). Menentukan banyak putaran

D = P × 360°

P = D/(360°)

P = (150°)/(360°) putaran

P = 5/12 putaran

 

Jadi, diperoleh : 150°=5/6 rad – 5/12 putaran

2) perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

 

Dilansir dari Cuemath  , nilai perbandingan trigonometri bersandar pada sudut lancip. Sehingga, untuk menentukan perbandingan trigonometrinya, kita harus melihat sudut lancipnya, bukan sudut siku-sikunya.

 (I) Perbandingan trigonometri segitiga (I) adalah sebagai berikut:

Sin = sisi depan/sisi miring = b/c

Cos = sisi samping/sisi miring = a/c

 Tan = sisi depan/sisi samping = b/a

 Cosec = sisi miring/sisi depan = c/b

 Sec = sisi miring/sisi samping = c/a

Cot = sisi samping/sisi depan = a/b

(II)  Perbandingan trigonometri segitiga (II) adalah sebagai berikut:

Sin = sisi depan/sisi miring = p/r

 Cos = sisi samping/sisi miring = q/r

Tan = sisi depan/sisi samping = p/q

 Cosec = sisi miring/sisi depan = r/p

 Sec = sisi miring/sisi samping = r/q

 Cot = sisi samping/sisi depan = q/p

Latihan soal:

1)

 

Jika BAC 30 derajat, maka sudut BCA adalah 60 derajat. Dilaporkan dari Khan Academy  , segitiga dengan sudut dalam 90º, 60º, dan 30º merupakan segitiga istimewa dengan sisi miring dari sisi terpendeknya dan sisi panjang adalah akar kuadrat dari sisi pendeknya. Hingga AB dan AC dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

AC = 2 x sisi terpendek = 2 x BC = 2 x 4 = 8 cm

AB = sisi terpendek 3 = BC√3 = 4√3

Cara penyelesaian dengan perbandingan trigonometri Atau, panjang AB dan AC juga bisa dihitung melalui perbandingan trigonometri. Kita dapat menggunakan nilai sinus untuk menghitung panjang AC sebagai berikut

(sin 30º = ½): Sin 30° = sisi depan/sisi miring = BC/AC  

½ = 4/AC     

AC = 4 x 2      

AC = 8

Untuk menemukan nilai AB, kita dapat menggunakan perbandingan trigonometri tangen sebagai berikut (tangen 30 = 1/√3):

 

Tan 30° = sisi depan/sisi samping = BC/AB   

1/√3 = 4/AB       

AB = 4√3

 Sehingga didapatkan nilai AB dan AC adalah 8 cm dan 4√3.

3) Perbandingan Trigonometri Pada sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut tertentu yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai perhitungan atau kalkulator.

Dengan kata lain, sudut istimewa trigonometri secara langsung mengungkap rasio panjang sisi pada sudut tertentu. Adapun sudut istimewa diantaranya yaitu sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.

Trigonometri dalam ilmu matematika mempelajari sudut, sisi, hingga perbandingan antara sudut dan sisi khususnya pada segitiga siku-siku dengan menggunakan sin, cos, tan, dan lainnya.

 

 

Perbandingan Sudut Istimewa Trigonometri

Dalam Modul Matematika Umum yang disusun oleh Entis Sutisna (2020), dapat kita ketahui hubungan trigonometri dengan sudut-sudut istimewa di atas dengan tabel sin cos tan sebagai berikut:

 

Contoh soal:

 

1. Hitunglah tan 30° + tan 45 °

 

Jawab:

 

tan 30° + tan 45° = 1/3 √3 + 1 = 1/3 (√3 + 3)

 

 

4) Soal-Soal Trigonometri

A.  Tinggi suatu gedung bertingkat 40 m. Amir berdiri di atas gedung memandang Bayu yang berdiri di halaman (tinggi Amir = tinggi Bayu). Sedangkan, jarak Bayu dari gedung adalah 30 m. Jika sin 36,90 = 0,6, sin 48,60 = 0,75, sin 41,40 = 0,66, maka besar sudut depresi bagi Amir ketika melihat Bayu adalah..

 

 Sin x° = CB/AB = 30/AB

 

AB = AC²+ BC²

= 40° + 30°

= 1.600 + 900

= 2.500

 

AB = √2.500 = 50 m

Sin x° = 30/50

Sin x°= 3/5 = 0,6

X = 36,9°

Sehingga

Y = 90 – 36,9°

Y = 53,1°

 

 

B. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

 

Jawab

Tan 30⁰ =

X =   . 150 

X = 50√3 

 

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

 

C. Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut? 

 

Jawab

 

Tan 60⁰ =

X = √3 . 10√3

X = 30

Jadi tinggi pohon adalah

= x + tinggi Andi

= 30 m + 1,6 m

= 31,6 m

 

D. Seorang yang berada di samping sungai ingin mengukur lebar sungai tersebut. Mula-mula dari titik A ia menentukan suatu benda di seberang sungai dan dinamai sebagai titik B. Setelah itu ia berjalan sejauh 15 meter dan melihat benda yang sama dari titik C dan membentuk sudut 54° dari titik A. Lebar sungai tersebut adalah 20,64 m.

 

Penjelasan :

 

Soal di atas dapat diselesaikan dengan rumus trigonometri. Pengamat dan pergerakannya yang ada pada soal di atas dapat digambarkan seperti gambar terlampir. Pada gambar terlampir dapat dilihat bahwa pergerakan pengamat tersebut membentuk sebuah segitiga siku-siku. Pada sebuah segitiga siku-siku panjang dari sisi depannya dapat dicari dengan nilai tan α.

Nilai tan α = panjang sisi depan : panjang sisi samping

Tan α = depan : samping

Tan 54° = x : 15 m

1,376 = x : 15 m

X = 1,376 x 15 m

X = 20,64 m

 

Nilai x sama dengan lebar sungai tersebut. Jadi lebar sungai tersebut adalah 20,64 m.

 

 

 

5) perbandingan trigonometri pada tiap kuadran

Dalam trignometri, besar suatu sudut a dibagi ke dalam 4 kuadran, yaitu:

• Kuadran I (0° << a < 90°)

• Kuadran II (90° < a < 180°)

•Kuadran III (180° < a < 270°).

•Kuadran IV (270° < a < 360°).

 

A.      Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

 

 

 

Dari titik (a, b) diperoleh x = a, y = b

 

Perbandingan trigonometri:

Sin a =y/r =b/r(positif)

COS α = x/r=a/r(positif)

Tan a =y/x=b/a(positif)

CSC α=r/y=r/b(positif)

Sec a =r/x=r/a(positif)

Cot a =x/y=a/b(positif)

 

 

 

 

 

Sin a =y/r =b/r(positif)

COS α = x/r=-a/r(negatif)

Tan a =y/x=b/-a(negatif)

CSC α=r/y=r/b(positif)

Sec a =r/x=r/-a(negatif)

Cot a =x/y=-a/b(negatif)

 

 

 

 

Sin a =y/r =-b/r(negatif)

COS α = x/r=-a/r(negatif)

Tan a =y/x=-b/-a=b/a(positif)

CSC α=r/y=r/-b(negatif)

Sec a =r/x=r/-a(negatif)

Cot a =x/y=-a/-b=a/b(positif)

 

 

 

 

 

Sin a =y/r =-b/r(negatif)

COS α = x/r=a/r(positif)

Tan a =y/x=-b/a(negatif)

CSC α=r/y=r/-b(negatif)

Sec a =r/x=r/a(positif)

Cot a =x/y=a/-b(negatif)

 

 

 

Contoh Soal

1)Untuk 0<x<2π. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2–√sinx−1=0 adalah…

 

 

2–√sinx−1=0

Sinx=12√=122–√

Sinx=sin45∘

→x=45∘=π4

Sinx=(180∘−45∘)+k⋅360∘

X=135∘+k⋅360∘

Jika k=0,

 Maka x=135∘=34π

Jadi nilai x

 Yang memenuhi adalah {π4,34π}.