Trigonometri (Kel. 6)

 

Trigonometri

 

1. Konversi Sudut

Dalam matematika ada 2 satuan sudut yang sering dipakai yaitu derajad dan radian.

➔ Konversi Derajad ke Radian

hubungan antara derajat dan radian adalah dinyatakan bahwa 1 putaran (360°) sama dengan 2π radian. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

Dari persamaan di atas, kita telah mengetahui hubungan antara derajat dan radian dalam 1 putaran penuh. Selanjutnya kita dapat menentukan konversi ukuran besar sudut dari derajat ke radian maupun dari radian ke derajat. Persamaan konversi dari derajat ke radian :

➔ Konversi Radian ke Derajad

Dilansir dari Alternating Current Fundamentals (2007) oleh Stephen L Herman, satu radian dinyatakan sebagai besar ukuran sudut pusat lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran. Secara matematis ditulis sebagai berikut :

 

 

Apabila  panjang busur tidak sama dengan jari-jari lingkaran, maka besar sudut dalam radian tetap dapat dinyatakan, namun persamaannya adalah sebagai berikut :

 

Contoh Soal :

Tentukan dalam satuan derajat dan radian untuk setiap rotasi berikut ini!

1 putaran = 360° = 2π rad

a. 1/9 putaran

b. 3/8 putaran

Jawab :

Kasus a

1/9 putaran = (1/9) (360°) = 40°

1/9 putaran = (1/9) (2π) = 2/9 π rad

Kasus b

3/8 putaran = (3/8) (360°) = 135°

3/8 putaran = (3/8) (2π) = 3/4 π rad

 

 

 

 

 

 

 

2. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perbandingan trigonometri adalah perbandingan ukuran suatu segitiga siku-siku apabila ditinjau dari salah satu sudut pada segitiga. Perbandigan trigonometri yaitu sisi sisi segitiga siku-siku diberi nama sisi miring, sisi depan dan sisi samping.

Rumus Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku :

Sin = b/c yang artinya sisi depan terletak pada bagian sisi miring.

Cos = a/c yang artinya sisi samping adalah sisi miring.

Tan = b/a yang artinya sisi depan terdapat di bagian sisi samping.

Dipan = a/b yang artinya sisi samping sisi depan atau kebalikan dari tangen.

 

Contoh Soal :

Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk setiap segitiga siku-siku pada gambar berikut ini!

Nilai perbandingan trigonometri bersandar pada sudut lancip. Sehingga, untuk menentukan perbandingan trigonometrinya, kita harus melihat sudut lancipnya, bukan sudut siku-sikunya.

 

(I) Perbandingan trigonometri segitiga (I) adalah sebagai berikut:

Sin = sisi depan/sisi miring = b/c

Cos = sisi samping/sisi miring = a/c

Tan = sisi depan/sisi samping = b/a

Cosec = sisi miring/sisi depan = c/b

Sec = sisi miring/sisi samping = c/a

Cot = sisi samping/sisi depan = a/b

 

(II) Perbandingan trigonometri segitiga (II) adalah sebagai berikut:

Sin = sisi depan/sisi miring = p/r

Cos = sisi samping/sisi miring = q/r

Tan = sisi depan/sisi samping = p/q

Cosec = sisi miring/sisi depan = r/p

Sec = sisi miring/sisi samping = r/q

Cot = sisi samping/sisi depan = q/p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Perbandingan Trigonometri pada sudut Istimewa/Spesial

Dari tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa di atas, dapat kita ketahui bahwa:

tan α = sin α / cos α

sec α = 1 / cos α

cosec α = 1 / sin α

cotan α = 1 / tan α

 

Contoh Soal Sudut Istimewa

 

1. Hitunglah tan 30° + tan 45 °

 

Jawab:

tan 30° + tan 45° = 1/3 √3 + 1 = 1/3 (√3 + 3)

 

 

2. Tunjukkan bahwa sin2 45o + cos2 45o = 1

 

Jawab:

sin2 45o + cos2 45o = (1/2 √2)2 + (1/2 √2)2 = ½ + ½ = 1

 

 

 

 

 

 

 

4. Soal Cerita Trigonometri

A) Sudut elevasi adalah sudut yang terbentuk antara garis lurus mendatar dengan posisi pengamat ke atas. Elevasi adalah 0° pada saat matahari terbit dan 90° saat matahari berada tepat di atas kepala (yang terjadi pada ekuinoks musim semi dan gugur di khatulistiwa sebagai contoh).

Sudut elevasi maksimum pada tengah hari (α) adalah sebuah fungsi dari derajat lintang dan sudut deklinasi (δ). Dari gambar di atas, sudut elevasi pada tengah hari dapat ditentukan dengan rumus:

Jika persamaan di atas menghasilkan nilai lebih dari 90° maka kurangi hasilnya dari 180°. Hal itu berarti matahari pada tengah hari berada di selatan sebagaimana biasa terjadi pada hemisfer utara. Dengan: φ adalah derajat lintang dari lokasi yang ingin dihitung. (+ve untuk hemisfer utara dan -ve untuk hemisfer selatan). δ adalah sudut deklinasi, yang bergantung pada hari dalam tahun.

Elevasi, α, bisa didapatkan menggunakan persamaan berikut:

Di mana HRA adalah sudut jam.

 

Contoh Soal :

Temukan nilai θ pada gambar yang diberikan.

 

Jawab :

Diketahui segitiga ABC, AC = 335 ft, BC = 249 ft

Untuk mencari ∠A = θ

tan θ = Sisi Berlawanan/ Sisi Berdekatan

tan θ = BC / AC

tan θ = 249/ 335

tan θ = 0,74

Oleh karena itu, θ = tan -1 (0,74) = 36

Jadi, nilai θ = 36 derajat.

 

B) Sudut depresi adalah sudut yang terbentuk antara garis mendatar dengan posisi pengamat pada bagian bawah.

 

Contoh Soal :

1. Tinggi suatu gedung bertingkat 40 m. Amir berdiri di atas gedung memandang Bayu yang berdiri di halaman (tinggi Amir = tinggi Bayu). Sedangkan, jarak Bayu dari gedung adalah 30 m. Jika sin 36,90 = 0,6, sin 48,60 = 0,75, sin 41,40 = 0,66, maka besar sudut depresi bagi Amir ketika melihat Bayu adalah..

sin x° = CB/AB = 30/AB

Jarak AB dicari dengan phytagoras:

AB = AC²+ BC²

= 40° + 30°

= 1.600 + 900

= 2.500

AB = √2.500 = 50 m

Sin x° = 30/50

Sin x°= 3/5 = 0,6

x = 36,9°

Sehingga

y = 90 - 36,9°

y = 53,1°

 

C) Tinggi Benda dan Bayangannya

Perhatikan gambar dibawah ini..   

Keterangan :

Anak tingginya 1 meter

Bayangan anak (warna hijau) = 0,5 meter

Tinggi pohon = 4 meter

Bayangan pohon belum diketahui dan inilah yang harus dicari...

Jawaban :

 

 

Jika bentuknya sudah begini, kalikan silang saja.

kalikan 1 dengan x

kalikan 4 dengan 0,5

1 dikali x = x

4 dikali 0,5 = 2

Sehingga diperoleh x = 2.

Itulah bayangan pohonnya, yaitu 2 meter.

 

D) Lebar Sungai

Andi ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat sebuah pohon. Untuk itu dia menancapkan tongkat sehingga berada pada posisi A, B, C, dan D dengan ukuran seperti pada gambar. Andi ingin mengukur lebar sungai dari tongkat D sampai pohon. Berapa lebar sungai tersebut?

Jawab :

Jadi, jawaban untuk berapa lebar sungai tersebut adalah jarak antara titik D ke pohon atau lebar sungai = DP = 12 m.

 

Pokok Materi Tinggi Benda & Bayangannya serta Lebar Sungai

Rasio trigonometri didefinisikan sebagai nilai semua fungsi trigonometri berdasarkan nilai rasio sisi dalam segitiga siku-siku. Rasio sisi-sisi segitiga siku-siku terhadap salah satu sudut akutnya dikenal sebagai rasio trigonometri dari sudut tertentu. Tiga sisi segitiga siku-siku adalah: Sisi miring (sisi terpanjang), Tegak Lurus (sisi yang berlawanan dengan sudut), Alas (sisi yang berdekatan dengan sudut).

 

•Enam rasio

Enam rasio trigonometri adalah sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cotangent (cot), cosecan (cosec), dan secan (sec).

 

•Rasio trigonometri

Sin = Sisi Berlawanan dengan /Hipotenusa

Cos = Sisi Berdekatan dengan /Hipotenusa

Tan = Sisi Berlawanan/Sisi Berdekatan & Sin /Cos

Cot = Sisi Berdekatan/Sisi Berlawanan & 1/tan

Detik = Sisi miring/Sisi Berdekatan & 1/cos

Cosec = Sisi Miring/Berlawanan & 1/sin

 

Pentingnya

Trigonometri memiliki berbagai kepentingan dalam mata pelajaran seperti astronomi dan geografi, mengembangkan musik komputer, teori bilangan kimia, pencitraan medis, elektronik, teknik elektro, teknik sipil, arsitektur, teknik mesin, oseanografi, seismologi, fonetik, kompresi gambar dan pengembangan game. Kegunaan utama dari konsep-konsep tersebut diberikan di bawah ini:

Memperkirakan ketinggian menara atau gunung besar

Menentukan jarak pantai dari laut

Mencari jarak antara dua benda langit

Menentukan output daya panel sel surya pada kemiringan yang berbeda

Mewakili besaran-besaran fisika yang berbeda seperti gelombang mekanik, gelombang elektromagnetik, dll.

 

 

 

 

 

 

 

5. Perbandingan Trigonometri pada Tiap Kuadran

Rumus Sudut Berelasi

Dengan memanfaatkan sudut-sudut relasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, termasuk sudut yang lebih dari 360° dan sudut negatif.

 

Sudut Berelasi di Kuadran I

Untuk α = sudut lancip, maka (90° − α) merupakan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α

cos (90° − α) = sin α

tan (90° − α) = cot α

 

Sudut Berelasi di Kuadran II

Untuk α = sudut lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) merupakan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α

cos (90° + α) = -sin α

tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α

cos (180° − α) = -cos α

tan (180° − α) = -tan α

 

Sudut Berelasi Kuadran III

Untuk α = sudut lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) merupakan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α

cos (180° + α) = -cos α

tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α

cos (270° − α) = -sin α

tan (270° − α) = cot α

 

Sudut Berelasi Kuadran IV

Untuk α = sudut lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) merupakan sudut kuadran IV. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α

cos (270° + α) = sin α

tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α

cos (360° − α) = cos α

tan (360° − α) = -tan α

 

Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipakai dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α) atau (270° ± α), maka :

sin → cos

cos → sin

tan → cot

Sedangkan untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :

sin = sin

cos = cos

tan = tan

 

 

Contoh Soal :

1. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°) = cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°) = sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I

 

2. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Jawab :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°) = -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°) = -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°) = cos 27°